Элективный курс по математике для учащихся 11-ых классов Нестандартные методы решения icon

Элективный курс по математике для учащихся 11-ых классов Нестандартные методы решения

Смотрите также:
Элективный курс «Методы решения задач по физике» 10 11 классы 68 часов...
Приказ № 2009г...
Элективный курс по математике...
Пояснительная записка Элективный курс «Золотая пропорция»...
Элективный курс Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств Автор : Андреева Рена...
Элективный курс по алгебре «Давайте дружить с процентами!» 9 класс...
Элективный курс по математике для 9 класса, на 17 часов Разработчик программы...
Программа элективного курса по математике «Симметрия вокруг нас» для 8-9 классов в рамках...
Элективный курс (для индивидуальных и групповых занятий учащихся 10-11 классов) Методы решения...
Урока по математике раздел...
Рабочая программа Элективный курс «Методы аналогий для решения задач по физике» 2010 -2011...
Элективный курс. Математика. Пути решения неравенств Составитель: Емельянова Р. Н...



скачать
Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

ГОУ «Чувашский республиканский институт образования»


Элективный курс по математике для учащихся 11-ых классов

Нестандартные методы решения

уравнений и неравенств


Составитель:

Ермеев Валерий Александрович,

учитель математики МОУ «Цивильская

средняя общеобразовательная школа №1

им. М.В. Силантьева» Цивильского

района

Рецензент: Ярдухин А.К., канд. физ.-мат. наук,

доцент кафедры естественно-научных дисциплин

ГОУ «Чувашский республиканский институт образования»


Чебоксары 2007


Пояснительная записка


Программа элективного курса оставлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике.

Элективные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 34 ч в учебный год. Преподавание элективного курса строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Элективные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают возможность разрешить основную задачу: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки учащихся. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный.

^ Основные цели курса:

1) развитие личности ребенка;

2) распознавание и раскрытие его способностей;

3) освоение системы знаний, необходимых для успешного получения профессионального образования и самообразования;

4) формирование ответа применения полученных знаний и умений для решения типичных задач в области математики.

^ Задачи курса:

1) Развить творческие способности учащихся на основе проб.

2) Воспитать личность, умеющую анализировать, самоанализировать и создавать программу саморазвития.

3) Развить мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

4) Формирование познавательного интереса к математике, развитие творческих способностей, осознание мотивов учения.

5) Формирование умений выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения, пользоваться методами аналогии и идеализаций.

Учебно – тематический план.



n/n

Содержание курса

Количество часов

1.

Использование областей существования функций для решения уравнений и неравенств.

Самостоятельная работа.

4


1


2.

Использование неотрицательности функций для решения уравнений и неравенств.

Самостоятельная работа.

4


1

3.

Использование ограниченности функций для решения уравнений и неравенств.

Самостоятельная работа.

4

1

4.

Использование свойств синуса и косинуса для решения уравнений и неравенств.

Самостоятельная работа.

4

1

5.

Использование числовых неравенств для решения уравнений и неравенств.

Самостоятельная работа.

4


1

6.

Использование производной для решения уравнений и неравенств.

Самостоятельная работа..

4

1

7.

Нестандартные задачи в ЕГЭ.

Зачётная работа.

3

1


^ Содержание курса.

Имеется довольно много уравнений и неравенств, которые можно решать с использованием свойств функций, входящих в это уравнение и неравенств. Часто оказывается, что такой метод дает возможность решить уравнение или неравенство проще, чем с помощью стандартных методов, а иногда решить их в тех случаях, когда стандартные методы не дают такой возможности.

Рассмотрим несколько таких нестандартных методов решения уравнений и неравенств.


^ 1 метод. Использование областей существования функций.

Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обет его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие- либо преобразования уравнения (неравенства), достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Пример 1. Решите уравнение (1)

Решение: Обе части уравнения (1) определены только для тех х, которые удовлетворяют системе неравенств

4 – х2 (2)

4 - х 2

Все решения системы (2) состоят из двух чисел: и Поэтому если уравнение (1) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка


показывает, что число удовлетворяет уравнению (1), а число ему не удовлетворяет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень

Ответ: 2.

Пример 2. Решите неравенство

> 0. (3)

Решение: х >0

ОДЗ: х 2 – 6х + 5 (4)

12х – 2х 2 – 10

Системе неравенств (4) удовлетворяют лишь два числа: х 1= 1 и х 2 = 5. Поэтому если неравенство (3) имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число х 1 не удовлетворяет неравенству (3), а число х 2 ему удовлетворяет. Следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение х 2.

Ответ: 5.

Задачи для самостоятельного решения.

1.Решите уравнение:

а) Ответ: 7.

б) Ответ: 6.

в) Ответ: -3; 3.

г) Ответ: -2; 2.

д) Ответ: 4.

е) Ответ: 2.

2. Решите неравенство: а) Ответ: -1.

б) Ответ: -1; 5.

в) Ответ: -2.

г) > 4. Ответ: 9.

д) > Ответ: нет

решений.

е) < 0. Ответ: 4.


2 метод. Использование неотрицательности функций.

Пусть левая часть уравнения F(х) = 0 (1) есть сумма нескольких функций

F(х) = (2)

каждая из которых неотрицательна для любого х из области ее существования. Тогда уравнение (1) равносильна системе уравнений

(3)

Например, каждое из уравнений и неравенств , , равносильно системе (3)

Пример3.Решите уравнение (4)

Решение: Так как для любого х из области ее существования справедливы неравенства

и то уравнение (4) равносильна системе уравнений

(5)

Первое уравнение системы (5) имеет единственное решение которое является также решением второго уравнения системы (5). Следовательно, система (5), а значит, и равносильное ей уравнение (4) имеют единственное решение

Ответ: 3.

Пусть левая часть неравенства

F(х) (6)

есть сумма нескольких неотрицательных функций (2), каждая из которых неотрицательна для любого х из области её существования, тогда неравенство (6) равносильна системе уравнений (3).

Пример 4. Решите неравенство (7)

Решение: Так как для любого х справедливы неравенства и то неравенство (7) равносильна системе уравнений

(8)

Второе уравнение системы (8) имеет два решения: х1 = 3 и х 2 = 2. Из этих чисел только число х 2 удовлетворяет первому уравнению системы (8). Следовательно, система (8), а значит, и равносильное ей неравенство (7) имеют единственное решение х 2.

Ответ: 2.

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнения и неравенства:



Ответ: а) 6; б) 5; в) 7; г) -1; д) 3; ж) 5; з) -4; k) 0.


3 метод. Использование ограниченности функций.

Пусть множество М есть общая часть областей существования функций и g(х) и пусть для любого справедливы неравенства f(х) и g(х)где

А – некоторое число. Тогда уравнение f(х) = g(х) равносильно системе уравнений

f(х) = А

g(х) = А.

Пример 5. Решите неравенство (1)

Решение: Обе части неравенства (1) определены для всех действительных чисел х. Для любого х поэтому

4 – 2х – х 2 = = 5 – (х + 1) 2

Следовательно, неравенство (1) равносильно системе

4 – 2х – х 2 = 5,

которая, в свою очередь, равносильна системе

(2)

Единственное решение второго уравнения системы (2) есть Это число удовлетворяет первому уравнению этой же системы. Следовательно, система (2) ,

а значит, и равносильное ей неравенство (1) имеют единственное решение

Ответ: -1.

Пример 6. Решите уравнение (3)

Решение: Так как и то уравнение (3) равносильно системе уравнений

(4)



Все решения второго уравнения системы (4) есть х 1 = 0 и х 2 = 1.Из этих чисел только число х 1 удовлетворяет первому уравнению системы (4). Следовательно, система (4), а значит, и равносильное ей уравнение (3) имеют единственное решение х 1.

Ответ: 0.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решите уравнение:

а) Ответ: -2.

б) Ответ:

в) Ответ: -1.

г) Ответ: 2.

д) Ответ: 0,25.

е) Ответ: 7.

ж) Ответ: 1.

з) Ответ: 0

2. Решите неравенство:

а) Ответ: 3.

б) Ответ: 0.

в) Ответ:

3. Найдите нули функции Ответ: 7.

4. Найдите точки пересечения графиков функций:

а) и Ответ: (1; 1).

б) и Ответ: (2; 2).


4 метод, Использование свойств синуса и косинуса.

Решение уравнений вида




где и В – данные отличные от нуля числа, m и n – данные натуральные числа, может быть сведено к решению систем уравнений, если использовать ограниченность синуса и косинуса. Для решения таких уравнений применяют способ «рассуждений с числовыми значениями».

Пример 7.Решите уравнение (1)

Решение: Если число х о – решение уравнения (1), то так как в противном случае было бы справедливо неравенство >1, что невозможно. Но если то из уравнения (1) следует, что sin х o = -1. Поэтому любое решение уравнения (1) является решением системы уравнений

sin х = - 1

(2)

Любое решение системы (2) есть решения уравнения (1). Следовательно, уравнение (1) равносильно системе (2). Решим эту систему. Первое уравнение системы (2) имеет решение

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (2), т.е. являются всеми решениями системы (2) и равносильного ей уравнения .

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решите уравнение:

а) Ответ:

б)

в) Ответ:

г) Ответ:

д) Ответ:

2. Решите неравенство:

а) Ответ:

б)

в)


^ 5 метод. Использование числовых неравенств.

Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений.

Часто применяются неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

где

(причем равенство здесь возможно лишь при а = b), и его следствие:

где а > 0 (1)

(причем тогда и только тогда, когда а = 1).

Пример 8.Решите уравнение (2)

Решение: Обе части уравнения (2) определены для всех х. Для любого х, применяя неравенство (1), получаем, что справедливо неравенство

(3)

Для любого х справедливо неравенство

2 (4)

Из справедливости неравенств (3) и (4) следует, что уравнение (2) превращается в верное равенство лишь для тех х, для которых обе части уравнения (2) равны 2, т.е. для х, удовлетворяющих системе уравнений (5)

Любое решение системы (5) будет решением уравнения (2). Следовательно, уравнение (2) равносильно системе уравнений (5). Решим её.

Первое уравнение системы (5) имеет единственное решение, которое удовлетворяет и второму уравнению этой же системы, Поэтому система (5), а значит, и равносильное ей уравнение (2) имеют единственное решение

Ответ: 0.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решите уравнение:

а) Ответ: 1.

б) Ответ: 1.

в) Ответ: нет

решений.

г) Ответ: 0,5.

д) Ответ: 0.

2. Решите неравенство:

а) Ответ: -1; 0.

б) Ответ:

в) Ответ:


^ 6 метод. Использование производной для решения уравнений и неравенств

При решении уравнения или неравенства часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих. При этом часто пользуются производными.

Пример 9. Решите уравнение х 5 + х 3 - (1)

Решение: Рассмотрим функцию f(х) = х 5 + х 3 - Область существования этой функции есть промежуток Х = Функция f(х) имеет внутри промежутка Х положительную производную f(х) = 5х 4 + 3х 2 +

Следовательно, функция f(х) возрастает на промежутке Х, и так как она непрерывна на этом промежутке, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Видно, что число х 1= -1 удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный

корень х 1.

Ответ: -1.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решите уравнение:

а) х 5 + х 3 + 1 - Ответ: 1.

б) Ответ: 3.

в) х 5 + х 3 – 37 - Ответ: 2.

г) Ответ: 3.

д) Ответ: 3.

2. Сколько действительных корней имеет уравнение:

а) 2х 4 – 4х 2 + 1 = 0. Ответ: 4.

б) 2х 4 – 8х + 1 = 0? Ответ: 2.


7. Нестандартные задачи в ЕГЭ.

Пример 10. Найдите нули функции у = ln 2 2 – 3х – 9) +

Решение: Нули функции – это значения х, при которых у = 0. ln 2 2 – 3х – 9) и

значит, их сумма равна 0, если каждое слагаемое обращается в нуль.

ln 2 2 – 3х – 9)

Решим уравнение ln 2 2 – 3х – 9)

х 2 – 3х – 9 = 1;

х 2 – 3х – 10 = 0;


х 1 = - 2; х 2 = 5.

Проверим, являются ли числа -2 и 5 корнями второго уравнения системы:

(-2) 3 – 8 · (-2) – 8 = 0, верное равенство, значит, -2 – корень;

5 3 – 8 · 5 – 8 значит, 5 – не является корнем 2-го уравнения.

Ответ: -2.

Пример 11. Решите уравнение В оттаете запишите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Решение: ОДЗ: х 2 – 6х – 27 Так как при всех х Є ОДЗ, то при всех х Є ОДЗ. Кроме того, при всех х Є ОДЗ.

Следовательно,










Сумма найденных корней равна -3 + 9 = 6.

Ответ: 6.
^

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнение:


(1) . Ответ: 0.

(2) . Ответ: 1.

(3) . Ответ: 3.

(4) . Ответ: 2.

(5) . Ответ: 0.

(6) . Ответ: – 2.

(7) . Ответ: 1.

(8) Ответ: 3.

(9) . Ответ: 2.

(10) . Ответ: 0.
^

(11) . Ответ: 1.


(12) . Ответ: – 1.

(13) . Ответ: 0.

(14) . Ответ: 2.

(15) . Ответ: 3.

(16) . Ответ: 1.

(17) . Ответ: – 2.

(18) . Ответ 1.

(19) . Ответ: 3.

Зачётная работа.

1) Найдите нули функции f(х) = 6х + х 2 – х 3 - Ответ: х = 0; -2.

2) Решите уравнение log 2 2 + 4) – log 2 x = 4x – x 2 – 2. Ответ: 2.

3) Решите неравенство Ответ: 3.

4) Решите неравенство Ответ: 2.

5) Решите уравнение Ответ:

Использованная литература.

1) Никольский С.М. и др. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М. : Просвещение, 2006.

2) Потапов М.К. и др. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. М.:

Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.

3) Колесникова С. И. Математика. Решение сложных задач ЕГЭ. – М.: Айрис-пресс, 2005.

4) Куланин Е. Д. 3000 конкурсных задач по математике. 4-е ихд., испр. и доп. – М.: Рольф, 2000.
База данных защищена авторским правом © kursovaya-referat.ru 2017
При копировании материала укажите ссылку