Программа элективного курса для предпрофильной подготовки «Золотое сечение» в математике и искусстве» icon

Программа элективного курса для предпрофильной подготовки «Золотое сечение» в математике и искусстве»

Смотрите также:
Программа элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся 9-го класса по математике...
Программа элективного курса по математике для предпрофильной подготовки «Приложения прогрессий»...
Золотое сечение...
Программа элективного курса по географии для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки...
Программа элективного курса предпрофильной подготовки «эксперимент в естественных науках»...
Экспериментальная программа элективного курса по математике «Эта загадочная функция»...
Программа элективного курса по математике «Симметрия вокруг нас» для 8-9 классов в рамках...
Рабочая программа элективного ориентационного курса для предпрофильной подготовки Составитель: Л...
Программа элективного курса предпрофильной подготовки «Кожа зеркало здоровья»...
План введение. 3стр. Золотое сечение в математике. 6стр. «Золотое сечение» в живой природе...
Программа элективного курса по русскому языку и литературе 9 класс...
Программа элективного курса в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов «История...



скачать
Государственное образовательное учреждение

Ярославской области

институт развития образования

кафедра естественно-математических дисциплин

Мышкинский муниципальный район

ПРОГРАММА

элективного курса для

предпрофильной подготовки

«Золотое сечение» в математике и искусстве»

Авторы:

Козлова Наталья Евгеньевна,

учитель химии и биологии

II категории Кирьяновской сош;

Корепанова Валентина Николаевна,

учитель математики и информатики

I категории Кирьяновской сош;

Сандуляк Алевтина Аркадьевна,

учитель математики

II категории Кирьяновской сош

Ярославль

2006

Пояснительная записка

Предлагаемый курс «Золотое сечение» в математике и искусстве» направлен на реализацию следующих задач:

  • дополнить систему знаний учащихся представлениями о «золотом сечении» как гармонии окружающего мира;

  • раскрыть эстетическое значение математических отношений;

  • подвести учащихся к осознанию связи мира искусства и мира чисел;

  • содействовать формированию у школьников творческого и абстрактного мышления;

  • продолжить формирование умений сравнивать результаты практической деятельности с теоретическими выкладками; анализировать полученные результаты;

  • способствовать формированию системы культурных ценностей школьников;

  • продолжить формирование предметной, коммуникативной комптентности;

  • развитие умений выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения, пользоваться методами аналогии.

^ Основные цели курса:

развить интерес школьников к математике;

расширить знания старшеклассников в области искусства (живописи, архитектуры);

развить умение самостоятельно работать с различными источниками информации.

Актуальность курса заключается в том, что происходит перенос математического содержания на художественные объекты — объекты искусства. Курс показывает, как фундаментальные закономерности математики являются формообразующими в архитектуре, в музыке, живописи и т.д.

Общими принципами отбора содержания материала программы являются:

  • доступность;

  • наглядность содержания в процессе обучения;

  • обеспечение мотивации обучения и повышение познавательной активности учащихся;

  • выстраивание межпредметных связей;

  • реальность с точки зрения возможности усвоения основного содержания программы за 9 часов.

Содержание программы обеспечивает практическую деятельность учащихся по применению полученных теоретических знаний; устойчивый познавательный интерес школьников.

Программа применима для разных групп школьников, что достигается обобщенностью включенных в нее знаний, их отбором в соответствии с задачами профильного обучения, модульным принципом построения.

Курс ориентирован на расширение культурного уровня учащихся и включает материал, выходящий за рамки школьной программы.

^ Содержание программы

Введение. Цели и задачи курса. 1 ч

Понятие «золотого сечения». Общие сведения. Формула «золотого сечения». Построение «золотых» отрезков.

Тема 1. «Золотое сечение» в живописи. 1 ч

Применение «золотого сечения» художниками эпохи Возрождения.

Практическая работа: Проверка картин на «золотую пропорцию». Анализ картины.

Тема 2. «Золотое сечение» в архитектуре. 2 ч

Древнегреческая архитектура как образец гармонии и красоты. Анализ архитектурных творений (Парфенон).

Русская архитектура 18 века. Русский храм с точки зрения архитектора и математика (Храм Василия Блаженного (Москва), Исаакиевский собор Санкт-Петербурга, церковь Вознесения в Коломенском).

Практическая работа: Пропорции в разных архитектурных стилях.

Темы для проектов: «Колизей — символ могущества Древнего Рима», «Собор Парижской Богоматери — жемчужина средневековой архитектуры», «Дом Пашкова — московский шедевр архитектуры В.Баженова».

Тема 3. «Золотая» пропорция человеческого тела. 2 ч

Работы Леонардо да Винчи. Статуи Аполлона Бельведерского и Зевса Олимпийского.

Исследовательская работа: Изучение пропорций своего тела.

Тема 4. «Золотая» пропорция в живой природе. 2 ч

Проявление «золотого» сечения в ботанике и зоологии (угловое отклонение ветки растения, расположение оснований черешков растений, расположение семечек в корзинке подсолнуха, закручивание раковин моллюсков, рогов архаров, сплетение паутины пауком эпейра, закручивание галактик и т.д.).

Исследовательская работа: Поиск и изучение пропорций объектов живой природы. Выполнение творческого проекта.

^ Заключительное занятие. 1 ч

Опорные знания и умения учащихся: знание математического отношения, математической пропорции, умение составлять пропорцию, находить отношение чисел; знание основных жанров искусства.

Предполагается, что результатами освоения учащимися данного курса могут стать следующие умения:

использование математических знаний для описания и решения задач будущей профессиональной деятельности;

применение приобретенных математических представлений и преобразований для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире;

проведение обобщений и открытие закономерностей на основе анализа частных примеров, эксперимента, выдвижение гипотез и проведение необходимых проверок.

Данный курс должен помочь школьникам овладеть способами исследовательской деятельности, стать фактором формирования творческого мышления учащихся.

Средства обучения: УМК, мультимедийные пособия.

Профессии, на выбор которых ориентирует данный курс: художник, архитектор, инженер-строитель, дизайнер, модельер, биолог.

^ Методические особенности курса

Организация учебной работы с учащимися направлена на проблемное изложение и изучение «золотого сечения» в живописи, архитектуре, живой природе и математике, создание проблемных, познавательных ситуаций; на выполнение самостоятельной, поисковой, исследовательской и практической работ.

Основные формы работы: лекция с элементами практикума; беседа; практическая работа; исследовательская работа.

Приоритетная роль при изучении данного курса отводится развитию следующих умений, видов познавательной деятельности старшеклассников:

  • работа с источниками информации (поиск информации);

  • анализ результатов измерений, сравнение их с теоретическими выводами;

  • систематизация полученных результатов.

Учебно-тематический план



Наименование

тем курса

Всего

часов

В том числе

Форма контроля

лекция

практика

семинар

1

Введение. Общие сведения о «золо­том сечении».

1

1










2

«Золотое сечение» в живописи.

1

0,5

0,5




Собеседование, оценка и самооценка представлен­ных учащимися работ.

3

«Золотое сечение» в архитектуре.

2

1

1




Собеседование, оценка и самооценка представлен­ных учащимися работ.

4

«Золотая» пропорция человеческого тела.

2

1




1

Проверка полученных ре­зультатов.

5

«Золотая» пропорция в живой при­роде.

2

1

1




Собеседование.

6

Подведение итогов. Защита рефера­тов, творческих работ.

1




1




Выставка работ учащихся.

Критерием успешного изучения данного курса служит выполнение художественного произведения на тему «Золотое сечение» в природе». (Это может быть живопись, макет, вышивка, изделие из природного материала.) Или написание реферата, эссе на заданную тему.

Темы творческих работ

  1. «Золотые» спирали в природе.

  2. Молекулярные тайны жизни и «золотое сечение».

  3. «Золотая» пропорция в химии.

  4. «Золотое сечение» в математическом анализе музыки.

  5. Тайны египетских пирамид.

  6. Загадка русских саженей.

  7. «Золотое сечение» в архитектуре русских храмов.

Список литературы

  1. Варданян Г.В. МХК: архитектура. — М.: Владос, 2003.

  2. Васютинский Н. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990.

  3. Волошинов А.В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 1992.

  4. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. — М.: Просвещение, 1986.

  5. Грушевицкая Т.Г. Словарь по МХК. — М: Просвещение, 2000.

  6. Мороз О.И. В поисках гармонии. — М.: Атомиздат, 1978.

  7. Пидоу Д. Геометрия и искусство. — М: Просвещение, 1979.

  8. Пифагор и его школа. — М.: Наука, 1995.

  9. Розмари А., Бартон М. Атлас чудес света. — М.: Бертельес мон Медиа, 1995.

  10. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. — М.: Стройиздат, 1990.

  11. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. — М.: АСТ, 1997.

  12. Компьютерные программы по искусству и МХК.

  13. Художественные альбомы.

Методические рекомендации

Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение равно или приближенно 0,618.

Пусть САВ и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка.

^ АС:АВ=СВ:АС (1)

Е
сли длину отрезка АВ обозначить через а, а длину АС — через х, то ах — длина отрезка СВ, и пропорция (1) примет вид: (2)

В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних и пропорцию (2) перепишем в виде: х2 = а(ах). Получаем квадратное уравнение: х2 + аха2 = 0. Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней х1,2 = следует выбрать положительный х = или х = .

Число обозначается буквой  в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого это число встречается многократно.

Если  0,62, то х  0,62а, а ах = 0,38а. таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

Геометрически «золотое сечение» можно построить следующим образом: построим отрезок АВ, восстановим в точке В перпендикуляр к АВ, на нем отложим точку D таким образом, чтобы ВD = АВ.

Далее, соединив точки А и D, отложим DЕ = АЕ. Точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка АВ.

В самом деле, заметим, что по теореме Пифагора (АЕ + ЕD)2 = АВ2 + ВD2, а по построению АЕ = АС, ЕD = ВD = АВ.

Из этих равенств следует, что АС2 + АС∙АВ = АВ2, а отсюда легко получить равенство (1).

Одной из первых книг, целиком посвященной «золотому сечению», была книга друга Леонардо да Винчи, монаха Луки Пачоли, под названием «Божественная пропорция» (1509 г.). В книге воздействие божественной пропорции на человека называлось чудесным и неизъяснимым, возвышенным и непостижимым, хотя ничего сверхъестественного в пропорциях «золотого сечения», конечно, нет. Одно из объяснений огромной роли «золотого сечения» в искусстве и архитектуре состоит в том, что линия глаз, на которой человек привык концентрировать внимание, слушая собеседника, делит длину лица в «золотом» отношении. Поэтому при взгляде на любой предмет мы невольно направляем глаза в точку «золотого» деления, которая кажется нам привычной, естественной, поэтому красивой.




Если вы подходите к пустой скамейке и садитесь на неё, то вы сядете не посередине скамейки (как-то нескромно, хотя встречаются и такие, ярко выраженные характеры) и, конечно, не на самый край. И если вы незаметно замерите длины, на которые своим телом разделили скамейку, то обнаружите, что отношение большего отрезка к меньшему равно отношению всей длины к большему отрезку, то есть равно «золотому сечению».


Тема 1. «Золотое сечение» в живописи.

В эпоху Возрождения «золотое сечение» было очень популярно среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры самой картины, художники старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось . Такой прямоугольник стали называть «золотым». Бывает и «золотой» треугольник — это треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равно .

В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении близком к .




Практическая работа. Проверка картин на законы «золотого сечения».







Леонардо да Винчи использовал «золотой» треугольник в композиции своей знаменитой «Джоконды»

Тема 2. «Золотое сечение» в архитектуре.

«Золотая» пропорция — понятие математическое. Но она является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства.

В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.) — храм Афины. Размеры Парфенона хорошо изучены. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1:2, а план образует прямоугольник со сторонами 1 и .

Известно, что диагональ прямоугольника имеет размер , следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.

Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей «золотую» пропорцию.

В работе В. Смоляка, посвященной изучению пропорции Парфенона, установлен закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцевого фасада храма, Б. Смоляк получил прогрессию, состоящую из 8 членов ряда: 1; ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; где  = 0,618.

Тщательные измерения Парфенона показали, что в нем нет прямых линий, а поверхности не плоские, а слегка изогнутые. Зодчие Греции знали, что строго горизонтальная линия и плоская поверхность наблюдателю издалека представляются прогнувшимися в середине.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое» сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле, в Голицынской больнице. Еще один шедевр Москвы — дом Пашкова является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Практическая работа: Пропорции в разных архитектур­ных стилях.

Темы для проектов: «Колизей — символ могущества Древнего Рима», «Собор Парижской Богоматери — жемчужина средневековой архитектуры», «Дом Пашкова — московский шедевр архитектуры В.Баженова».

Тема 3. «Золотая» пропорция человеческого тела.

Скульптурные сооружения, памятники, воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиг и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой «золотого сечения». Пропорции «золотого сечения» создают впечатления гармонии, красоты, поэтому скульптуры использовали их в своих произведениях. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (который считается одним из чудес света) и Афины Парфенос.

Леонардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела связаны с числом . В знаменитом «Трактате о живописи» и других работах да Винчи много внимания уделено изучению человеческого тела: сведениям по анатомии, пропорциям , зависимости между движениями, мимикой.

Исследовательская работа: Изучение пропорций своего тела.

То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в определенной пропорции, знает каждый: недаром мы говорим о пропорционально сложенной фигуре. Но далеко не всем известно, что здесь имеет место золотое деление. Лучшим примером того, что древние ваятели использовали этот принцип при изображении человеческого тела, являются античные статуи. Идеально сложенное человеческое тело полностью отвечает этому принципу. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет этому закону мужская фигура. Любая античная скульптура отвечает закону золотой пропорции. Каждую отдельно взятую часть тела (голову, руку, кисть) также можно разделить на естественные части по закону золотого сечения.

Рука согласно принципу «золотого сечения» распадается на «свои анатомические части» — плечо, предплечье, кисть. Разделение кисти руки, лица отвечает тоже этому принципу.

Тема 4. «Золотая» пропорция в живой природе.

«Золотое сечение» — один из основополагающих принципов природы.

Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил — тяготения и инерции. Золотая пропорция — символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный рост побега до зрелости и замедленный рост до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу.

Одним из первых проявление золотого сечения в природе подметил немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1570-1630 гг.). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

Приведем один из сравнительно недавно установленных фактов. В 1850 г. немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°.

Представим себе, что две соседние ветки растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами — ветками обозначим через , а угол, дополняющий его до 360°, — через .

Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол  — большая часть этой величины.

.

Получаем квадратное уравнение: 2 + 360  3602 = 0.

Положительный корень  = 180 + = 180∙(1 + +) = 180∙1,236 = 222,48.

 = 360°  222,48° = 137,52°  138°.

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

Закон «золотого» сечения действует и в растительном мире. Рассмотрим наиболее общий и интересный случай. Если внимательно рассмотреть веточку с листьями, то можно заметить, что основания черешков располагаются по винтовой линии, каждый следующий лист прикреплен выше и в сторону от предыдущего. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьется вокруг стебля по правильной винтовой линии. Проследив за расположением листьев на этой спирали, мы непременно увидим листья, которые расположены один над другим. Часть спирали, заключенная между двумя такими листьями, называется в ботанике «циклом».

Для краткости и удобства обозначают листорасположение в виде дроби, в числителе которой число оборотов одного цикла спирали, а в знаменателе — число листьев в этом цикле, так, дробь показывает, что один цикл спирали трижды огибает стебель, и что в одном цикле 8 листьев. Эта же самая дробь выражает и угол расхождения двух соседних листьев. В рассматриваем случае это окружности, т. е. 135°. Отсюда следует, что дроби и выражают, в сущности, одно и то же листорасположение, так как угол, равный окружности, дополняет до 360° угол, соответствующий окружности.

Различные числа получают потому, что в одном случае спираль закручивалась, например, справа налево, в другом — слева направо.

Каждый вид растений имеет свое листорасположение, вернее, угол расхождения листьев, который характерен не только для листьев, но и для расположения веток, почек, цветов, чашек внутри почек. Но этот угол не произвольный, а подчиняется определенному закону.

Во всем растительном мире наблюдается небольшое число типов листорасположения, выражающихся немногими дробями. Вот табличка наиболее распространенных типов листорасположения: ; ;

Ученые заметили, что этот ряд отличается одной любопытной и довольно неожиданной особенностью, а именно, что каждая из этих дробей, начиная с третьей, получается из двух предыдущих путем сложения их числителей и знаменателей.

Числители и знаменатели дробей дают известный ряд Фибоначчи: 1,1,2,3;5,8,13; ... и 2;3;5;8,13,21, в котором любая пара соседних чисел удовлетворяет одному из уравнений:

х2хуу2 = 1 и х2хуу2 = 1, где большим числом является х, меньшим у. Все эти дроби дают нам довольно точные приближения к числу 0,62.

Рассмотрим теперь расположение семечек в корзинке подсолнуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую 21.

В более крупных соцветиях подсолнечника число соответствующих спиралей 21 и 34, или 34 и 55. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек, или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов.

Число рядов листьев или цветков, ориентированных противоположно, отличается у разных растений, но чаще всего принимают следующие значения (в числителе записано число длинных рядов, в знаменателе — коротких):

= 0,5; = 0,66…; = 0,6; = 0,625…; = 0,615; = 0,619…; = 0,618…; = 0,617; = 0,618…

Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число , с каждым новым шагом выражаемое все более точно:  = 0,618033…

Прямоугольник, стороны которого делятся в «золотом» отношении, называют «золотым». Если, например, от «золотого» прямоугольника «отрезать» квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшаяся часть также будет «золотым» прямоугольником. Если продолжать этот процесс, то мы получим так называемые вращающиеся квадраты, полностью заполняющие исходный прямоугольник.

Если противолежащие вершины вращающихся квадратов соединить плавной кривой, то мы получим «золотую» спираль. Эта кривая замечательна тем, что ее очень часто воссоздает живая и неживая природа. Так, раковины многих моллюсков, улиток, рога архаров закручиваются по «золотой» спирали. Один из наиболее распространенных в природе пауков, эпейра, сплетает паутину по «золотой» спирали. Семечки в подсолнухе располагаются по «золотой» спирали точно также, как закручиваются многие галактики, в том числе и галактика Солнечной системы. Подобных примеров можно привести великое множество.

Исследовательская работа: Поиск и изучение пропорций объектов живой природы. Выполнение творческого проекта.
База данных защищена авторским правом © kursovaya-referat.ru 2017
При копировании материала укажите ссылку